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《信息安全数学基础》最新学习笔记
这里是关于《信息安全数学基础》书的个人笔记和总结,包括将一些概念(整除、同余、群、环、域、多项式等代数学基础)重点记录下来,这样容易快速记忆一些重点,建立信息安全需要掌握的数学基础。然而,这里没有相应的证明,需要详细的证明可以翻书查阅。若有错误的地方,欢迎指正,本人也同步在学习,将不断完善。(本人耗时一整天码字不易,希望对你有所帮助,仅供参考)
参考书籍《信息安全数学基础教程》(第2版),许春香 周俊辉等人编著。
附:也可直接下载PDF学习,可能里面对应的标注和内容更直观、清晰和完整。
定义1.1:假设 a 、 b a、b a、b 是任意两个整数,其中 b b b 非零,若存在一个整数 q q q,使得
a = q b a=qb a=qb
则称为 b b b能整除 a a a,或称 a a a能被 b b b整除,记为 b ∣ a b|a b∣a,且 b b b是 a a a的因子, a a a是 b b b的倍数。
元素 a 、 b a、b a、b互素的充要条件是,存在 u 、 v u、v u、v使 u a + v b = 1 ua+vb=1 ua+vb=1,则由 ( a , b ) ∣ ( u a + v b ) (a, b)|(ua+vb) (a,b)∣(ua+vb),得 ( a , b ) ∣ 1 (a, b)|1 (a,b)∣1,所以 ( a , b ) = 1 (a, b)=1 (a,b)=1。
如: a − 1 ( m o d n ) ⇒ a^{-1} \pmod n\Rightarrow a−1(modn)⇒存在整数 b b b 使得 a b ( m o d n ) = 1 ab \pmod n=1 ab(modn)=1。
定义1.2:设 x ∈ R x \in R x∈R, ≤ x \leq x ≤x的最大整数称为 x x x的整数部分,记为 ⌊ x ⌋ \lfloor x\rfloor ⌊x⌋。其中 ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌊ x ⌋ + 1 \lfloor x\rfloor\leq x\leq \lfloor x\rfloor+1 ⌊x⌋≤x≤⌊x⌋+1。
定义1.3:给定称为模的正整数 m m m,若 m m m除整数 a 、 b a、b a、b得相同的余数,即存在整数 q 1 q_{1} q1和 q 2 q_{2} q2使得
a = q 1 m + r , b = q 2 m + r a=q_{1}m+r,b=q_{2}m+r a=q1m+r,b=q2m+r
则称 a a a和 b b b关于模 m m m同余,记为
a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\pmod m a≡b(modm)
a a a和 b b b关于模 m m m同余的充分必要条件为: m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m∣(a−b),即 a = b + m t a=b+mt a=b+mt, t t t是整数。
定义2.1:设 S S S是一个非空集合,如果在 S S S上定义了一个代数运算,称为乘法 ·,记为 a ⋅ b a·b a⋅b。对于乘法,根据习惯可省略乘号写成 a b ab ab ,且满足下列条件,则称 ( S , ⋅ ) (S, ·) (S,⋅) 为一个半群。
则用”乘法“定义的群称为乘法半群;用”加法“定义的群称为加法半群。
定义2.2:一个群 G G G的一个子集 H H H如果对于 G G G的乘法构成一个群,则称为 G G G的子群。
对于任意 a , b ∈ A a,b\in A a,b∈A ,如果 a ≠ b a\neq b a=b ,有 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\neq f(b) f(a)=f(b),则称为 f f f为单射。对于任意 b ∈ B b\in B b∈B ,总有 a ∈ A a\in A a∈A,使 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b,则称 f f f为满射。既是满射又是单射的映射称为一一映射。单射的含义是 A A A中的不同的元素在B中有不同的像。满射是 B B B中的每个元素都成为 A A A中元素的一个像。
定义3.1:如果一个群 G G G里的元素都是某一个元素 g g g的幂,则 G G G称为循环群, g g g称为 G G G的一个生成元。由 g g g生成的循环群记为 ( g ) (g) (g)或 ⟨ g ⟩ \langle g\rangle ⟨g⟩。
循环群的几个性质:
特殊的循环群——剩余类群。
由同余概念,将全体整数 Z Z Z进行分类,设 m m m是正整数,把模 m m m同余的整数归为一类,即可表示为
a = q m + r , 0 ⩽ r < m , q = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . a=qm+r,0\leqslant r<m,q=0,\pm 1, \pm2,... a=qm+r,0⩽r<m,q=0,±1,±2,...
的整数是一个模 m m m为一类,称为剩余类,剩余类中的每个数都称为该类的剩余或代表, r r r称为该类的最小非负剩余。
定理3.1:模 m m m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成 m m m阶循环群。注意对于加法,元素的“幂”就是元素的连加。
定义4.1:设 R R R是一非空集合,在 R R R上定义了加法和乘法两种代数运算,分别记为“ + + +”和“ ⋅ · ⋅ ”,如果R具有如下性质:
则称 ( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,⋅)为一个环。环对于加法构成交换群,对于乘法满足封闭性和结合律,又对加法和乘法满足分配律。如果环 R R R关于乘法还满足交换律,即对于任意,总有,则称 R R R为交换环。
全体整数集合 Z Z Z构成的环是交换环。
由于环里存在两种运算,因此把加法群的单位元称为零元,记为 0 0 0,元素的加法逆元称为负元,记为 − a -a −a。而继续把乘法单位元和乘法逆元分别称为单位元和逆元,用 1 1 1和 a − 1 a^{-1} a−1表示。
定义4.2:如果在一个环 R R R里 a ≠ 0 a\neq 0 a=0, b ≠ 0 b\neq 0 b=0,但
a b = 0 ab=0 ab=0
则称 a a a是这个环的一个左零因子, b b b是这个环的一个右零因子。显然交换环里每个左零因子同时是右零因子。若左右零因子同时存在,则称为零因子。
定义4.3:如果一个环 R R R满足下列条件:
则 R R R称为整环。整数环、全体有理数、全体实数和全体复数都是整环。
条件(2)中 1 ≠ 0 1\neq 0 1=0意味着环中不止一个元素,或存在非零元。
定义4.4:若一个环 R R R存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法群,则 R R R称为除环。全体有理数 Q Q Q、全体实数 R R R和全体复数 C C C对于普通的加法和乘法都是除环。
定义4.5:一个交换除环称为一个域 。如果一个环 F F F存在非零元,而且全体非零元构成一个乘法交换群,则 F F F称为一个域。全体有理数 Q Q Q、全体实数 R R R和全体复数 C C C对于普通的加法和乘法都是域。
当 p p p 是素数时,模 p p p剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域,记为 G F ( p ) GF(p) GF(p)。
从群的角度出发,则一个集合 F F F是一个域应该满足以下3个条件:
从域、除环、无零因子环和环的定义,可以知道域一定是除环,除环一定是无零因子环。
定义4.6: ( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,⋅)和 ( R ′ , ⊕ , ⊗ ) (R^{'},\oplus, \otimes) (R′,⊕,⊗)是两个环,如果存在 R R R到 R ′ R^{'} R′的一个映射 f f f,加法和乘法都在 f f f 下得到保持,即对任意
f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) f(ab)=f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b)
f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f(a+b)=f(a)+f(b) f(a+b)=f(a)+f(b)
则称 f f f是 R R R到 R ′ R^{'} R′同态映射,或简称同态。如果 f f f 是单射,则称为 f f f是单同态。如果 f f f 是满射,则称为 f f f是满同态。如果 f f f 是一一映射,则称 f f f 是同构(映射),此时称 ( R , + , ⋅ ) (R, +, ·) (R,+,⋅)和 ( R ′ , ⊕ , ⊗ ) (R^{'},\oplus, \otimes) (R′,⊕,⊗)是同构,并用 R ≅ R ′ R\cong R^{'} R≅R′表示。
定义5.1:设 F F F是一个域,设 a ≠ 0 a\neq 0 a=0。则称
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 ( a i ∈ F , n 是非负整数 ) f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}(a_{i}\in F, n是非负整数) f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0(ai∈F,n是非负整数)
域 G F ( 2 ) GF(2) GF(2)上的两个多项式 ( G F ( 2 ) (GF(2) (GF(2)的两个元素表示为 0 0 0和 1 1 1)
定理5.1: F [ x ] F[x] F[x]是具有单位元的整环。
定义5.2:对于 f ( x ) 、 g ( x ) ∈ F [ x ] f(x)、g(x)\in F[x] f(x)、g(x)∈F[x], f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq 0 f(x)=0。如果存在 q ( x ) ∈ F [ X ] q(x)\in F[X] q(x)∈F[X],使得 g ( x ) = q ( x ) f ( x ) g(x)=q(x)f(x) g(x)=q(x)f(x),则称 f ( x ) f(x) f(x)整除 g ( x ) g(x) g(x),记为 f ( x ) ∣ g ( x ) f(x)|g(x) f(x)∣g(x), f ( x ) f(x) f(x)称为 g ( x ) g(x) g(x)的因式。如果 ( f ( x ) ) k ∣ g ( x ) (f(x))^{k}|g(x) (f(x))k∣g(x),但 ( f ( x ) ) k + 1 ∣ g ( x ) (f(x))^{k+1}|g(x) (f(x))k+1∣g(x)不能整除g(x),则称 f ( x ) f(x) f(x)是 g ( x ) g(x) g(x)的 k k k重因式。
定理5.2:欧几里得算法。对于多项式 f ( x ) 、 g ( x ) f(x)、g(x) f(x)、g(x),其中 d e g ( f ( x ) ) ⩽ d e g ( g ( x ) ) deg(f(x))\leqslant deg(g(x)) deg(f(x))⩽deg(g(x))。反复进行欧几里得算法,得到下列方程式:
g ( x ) = q 1 ( x ) f ( x ) + r 1 ( x ) , d e g ( r 1 ( x ) ) < d e g ( f ( x ) ) g(x)=q_{1}(x)f(x)+r_{1}(x), deg(r_{1}(x))<deg(f(x)) g(x)=q1(x)f(x)+r1(x),deg(r1(x))<deg(f(x))
f ( x ) = q 2 ( x ) r 1 ( x ) + r 2 ( x ) , d e g ( r 2 ( x ) ) < d e g ( r 1 ( x ) ) f(x)=q_{2}(x)r_{1}(x)+r_{2}(x), deg(r_{2}(x))<deg(r_{1}(x)) f(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),deg(r2(x))<deg(r1(x))
r 1 ( x ) = q 3 ( x ) r 2 ( x ) + r 3 ( x ) , d e g ( r 3 ( x ) ) < d e g ( r 2 ( x ) ) r_{1}(x)=q_{3}(x)r_{2}(x)+r_{3}(x), deg(r_{3}(x))<deg(r_{2}(x)) r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),deg(r3(x))<deg(r2(x))
…
r m − 2 ( x ) = q m ( x ) r m − 1 ( x ) + r m ( x ) , d e g ( r m ( x ) ) < d e g ( r m − 1 ( x ) ) r_{m-2}(x)=q_{m}(x)r_{m-1}(x)+r_{m}(x), deg(r_{m}(x))<deg(r_{m-1}(x)) rm−2(x)=qm(x)rm−1(x)+rm(x),deg(rm(x))<deg(rm−1(x))
r m − 1 ( x ) = q m + 1 ( x ) r m ( x ) + r 3 ( x ) r_{m-1}(x)=q_{m+1}(x)r_{m}(x)+r_{3}(x) rm−1(x)=qm+1(x)rm(x)+r3(x)于是有 r m ( x ) = ( f ( x ) , g ( x ) ) r_{m}(x)=(f(x),g(x)) rm(x)=(f(x),g(x))
定义5.3:设 p ( x ) ∈ F [ x ] p(x)\in F[x] p(x)∈F[x]为一多项式,且 d e g ( p ( x ) ) ≥ 1 deg(p(x))\geq 1 deg(p(x))≥1,如果 p ( x ) p(x) p(x)在 F [ x ] F[x] F[x]内的因式仅有零次多项式及 c p ( x ) ( c ≠ 0 ∈ F ) cp(x)(c\neq 0 \in F) cp(x)(c=0∈F) ,则称 p ( x ) p(x) p(x)是 F [ x ] F[x] F[x]内的一个不可约多项式,否则称为可约多项式。
G F ( 2 ) [ x ] GF(2)[x] GF(2)[x](二元域上,判断一次因式,只需把 0 0 0和 1 1 1代入,判断是否为 0 0 0,为 0 0 0则为可约,不为 0 0 0不可约)四次以内的不可约多项式。
在 G F ( 2 ) [ x ] GF(2)[x] GF(2)[x]上有 ( f ( x ) + g ( x ) ) 2 = ( f ( x ) ) 2 + ( g ( x ) ) 2 (f(x)+g(x))^{2}=(f(x))^{2}+(g(x))^{2} (f(x)+g(x))2=(f(x))2+(g(x))2
定义5.4:设 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)∈F[x]是首一多项式。对于 a ( x ) 、 b ( x ) ∈ F [ x ] a(x)、b(x)\in F[x] a(x)、b(x)∈F[x],如果 f ( x ) f(x) f(x)除 a ( x ) 、 b ( x ) a(x)、b(x) a(x)、b(x) 得相同的余式,即
a ( x ) = q 1 ( x ) f ( x ) + r ( x ) a(x)=q_{1}(x)f(x)+r(x) a(x)=q1(x)f(x)+r(x)
b ( x ) = q 2 ( x ) f ( x ) + r ( x ) b(x)=q_{2}(x)f(x)+r(x) b(x)=q2(x)f(x)+r(x)
则称 a ( x ) a(x) a(x)和 b ( x ) b(x) b(x)关于 f ( x ) f(x) f(x)模同余,记为
a ( x ) ≡ b ( x ) ( m o d f ( x ) ) a(x)\equiv b(x)\pmod {f(x)} a(x)≡b(x)(modf(x))
定理5.3:设 f ( x ) ∈ F [ x ] f(x)\in F[x] f(x)∈F[x]是一个首一多项式,且 d e g ( f ( x ) ) > 0 deg(f(x))>0 deg(f(x))>0,则 F [ x ] ( m o d f ( x ) ) F[x]\pmod {f(x)} F[x](modf(x))构成具有单位元的交换环,称为多项式剩余类环。
定理5.4:如果 f ( x ) f(x) f(x)是 F F F上的首一不可约多项式,则 F [ x ] ( m o d f ) ( x ) F[x]\pmod f(x) F[x](modf)(x)构成有限域。
定义5.5:有限个元素构成的域称为有限域或 G a l o i s Galois Galois(伽罗瓦)域。域中元素的个数称为有限域的阶。
定义5.6: q q q阶有限域中阶为 q − 1 q-1 q−1的元素称为本原域元素,简称本原元。
定理5.5:有限域中一定含有本原元。在一个无零因子环 R R R里所有非零元的加法阶都相同。当加法阶有限时,它是一个素数。
定义5.7:域中非零元的加法阶称为环的特征,当加法阶为无限大时,称特征为 0 0 0。如果一个域F不再含有真子集作为 F F F的子域,则称 F F F为素域。
定理5.6:阶为素数的有限域必为素域。
定理5.7:有限域的阶必为其特征之幂。一般有限域记为 G F ( p m ) GF(p^{m}) GF(pm),其中 p p p是域的特征, m m m是正整数。由于特征总是素数,则有限域的阶总为素数的幂。
回顾剩余类:设 m m m是正整数,模 m m m同余的全体整数是一个模 m m m剩余类,即可表示为
a = q m + r , 0 ⩽ r < m , q = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . a=qm+r,0\leqslant r<m,q=0,\pm 1, \pm2,... a=qm+r,0⩽r<m,q=0,±1,±2,...
的整数是一个模 m m m为一类,称为剩余类,剩余类中的每个数都称为该类的剩余或代表, r r r称为该类的最小非负剩余。
定义6.1:从模 m m m剩余类中各取一个代表,则称这些代表的集合为模 m m m的一个完全剩余系。
定义6.2:如果一个模 m m m的剩余类里面的数与m互素,则称它为与模 m m m互素的剩余类。从与模 m m m互素的每个剩余类中各取一个数构成的集合称为模 m m m的一个简化剩余系。
定理6.1:模 m m m剩余类环中与 m m m互素的剩余类构成乘法群。
欧拉函数 φ ( m ) \varphi (m) φ(m)表示小于或等于 m m m的正整数中与 m m m互质的数的数量。例如 φ ( 8 ) = 4 \varphi (8)=4 φ(8)=4 ,因为 1 、 3 、 5 、 7 1、3、5、7 1、3、5、7均和 8 8 8互质(互素)。当 m m m为质数时 φ ( m ) = m − 1 \varphi (m)=m-1 φ(m)=m−1 ,以及 φ ( p k ) = p k ( 1 − 1 p ) \varphi (p^{k})=p^{k}(1-\frac 1p) φ(pk)=pk(1−p1)。
(欧拉定理):设 m m m是正整数,如果 ( r , m ) = 1 (r,m)=1 (r,m)=1 ,则
r φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) r^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod m rφ(m)≡1(modm)
(费马定理):如果 p p p是素数,则
r p ≡ r ( m o d p ) r^{p} \equiv r\pmod p rp≡r(modp)
通常中国剩余定理是求解同余式组的解,例
x ≡ b 1 ( m o d m ) 1 x\equiv b_{1}\pmod m_{1} x≡b1(modm)1
x ≡ b 2 ( m o d m ) 2 x\equiv b_{2}\pmod m_{2} x≡b2(modm)2
⋮ \vdots ⋮
x ≡ b k ( m o d m ) k x\equiv b_{k}\pmod m_{k} x≡bk(modm)k
(中国剩余定理):设 m 1 , m 2 , … , m k m_{1} , m_{2}, \ldots, m_{k} m1,m2,…,mk两两互素,则上面的同余式组有唯一解。
x ≡ M 1 − 1 M 1 b 1 + M 2 − 1 M 2 b 2 + ⋮ + M k − 1 M k b k ( m o d m ) x\equiv M_1^{-1}M_1b_1+M_2^{-1}M_2b_2+\vdots +M_k^{-1}M_kb_k\pmod m x≡M1−1M1b1+M2−1M2b2+⋮+Mk−1Mkbk(modm)
其中 m = m 1 m 2 … m k m=m_1m_2\ldots m_k m=m1m2…mk, M 1 = m m i M_1=\frac mm_i M1=mmi, M 1 − 1 M 1 ≡ 1 ( m o d m i ) M_1^{-1}M_1\equiv 1\pmod {m_i} M1−1M1≡1(modmi), i = 1 , 2 , . . . , k i=1,2,...,k i=1,2,...,k。
定义7.1:设 p p p是奇素数,即大于2的素数,如果二次同余式
有解,则 a a a称为模 p p p的平方剩余,否则 a a a称为模 p p p的平方非剩余。有些也将平方剩余和平方非剩余分别称为二次剩余和二次非剩余。
定理7.1:设 p p p是奇素数。在模 p p p的简化剩余系中,有 p − 1 2 \frac {p-1}2 2p−1个平方剩余, p − 1 2 \frac {p-1}2 2p−1个平方非剩余。
(欧拉判别式):设 p p p是奇素数, ( a , p ) = 1 (a, p)=1 (a,p)=1 。 a a a是模 p p p平方剩余的充分必要条件是
a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) a^{\frac {p-1}2}\equiv 1\pmod p a2p−1≡1(modp)
a a a是模 p p p平方非剩余的充分必要条件是
a p − 1 2 ≡ − 1 ( m o d p ) a^{\frac {p-1}2}\equiv -1\pmod p a2p−1≡−1(modp)
由于在模乘法的计算过程中需要反复的模乘运算,上节平方剩余与平方非剩余的欧拉判别法当 p p p比较大时并不方便,例如判别286在模563下是否是平方剩余,计算量非常大。而勒让德符号判别是否是平方剩余是非常有效。
定义7.2:设 p p p是奇素数 , a a a是整数。勒让德(Legendre)符号( a p \frac ap pa)定义如下:
( a p ) = { 1 , a 是模 p 的平方剩余 − 1 , a 是模 p 的非平方剩余 0 , a 能够被 p 整除,即 p ∣ a ( \frac ap)= \begin{cases} 1, & \text{$a$是模$p$的平方剩余} \\ -1, & \text{$a$是模$p$的非平方剩余}\\ 0, & \text{$a$能够被$p$整除,即$p|a$} \end{cases} (pa)=⎩
⎨
⎧1,−1,0,a是模p的平方剩余a是模p的非平方剩余a能够被p整除,即p∣a
定理7.2:设 p p p是奇素数, a a a是整数,则
( a p ) = a p − 1 2 ( m o d p ) (\frac ap)=a^{\frac {p-1}2}\pmod p (pa)=a2p−1(modp)
勒让德符号具有下列性质:
定理7.3:(二次互反律)如果 p 、 q p、q p、q都是奇素数, ( p , q ) = 1 (p, q)=1 (p,q)=1 ,则 ( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 ( p q ) (\frac qp)=(-1)^{\frac {p-1}2\frac {q-1}2}(\frac pq) (pq)=(−1)2p−12q−1(qp)
基本概念比较多,而且特别多的定义和定理,需要先记住慢慢理解,并结合书本上的证明加深理解。
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