勒让德函数(Legendre多项式)-程序员宅基地

技术标签: 信号处理  

勒让德函数

定义

勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:
( 1 − x 2 ) d 2 P ( x ) d x 2 − 2 x d P ( x ) d x + n ( n + 1 ) P ( x ) = 0 (1-x^2)\frac{d^2P(x)}{dx^2} -2x\frac{dP(x)}{dx}+n(n+1)P(x)=0 (1x2)dx2d2P(x)2xdxdP(x)+n(n+1)P(x)=0
在球坐标中求解三维拉普拉斯方程时,问题会归结为勒让德方程的求解。

勒让德多项式

公式

n=1、2、3... 时,随n值变化方程的解相应变化,构成一组由正交多项式组成的多项式序列,这组序列称为勒让德多项式
勒让德多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)是n项多项式,表示为
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] P_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] Pn(x)=2nn!1dxndn[(x21)n]

Associated Legendre Function

我不清楚该怎么翻译了,先这么凑合一下吧。。
P l m ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m / 2 d m d x m ( P l ( x ) ) P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}(P_l(x)) Plm(x)=(1)m(1x2)m/2dxmdm(Pl(x))

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