技术标签: 检测负环 算法(学习) 单源点最短路 检测负权回路 负权边 SPFA
SPFA算法是对Bellman-Ford算法的优化,也是用于在存在负权边的图上,求单源点最短路,一般情况下时间复杂度可以看作 O ( m ) O(m) O(m)的,最坏情况下时间复杂度是 O ( n m ) O(nm) O(nm)。
虽然SPFA算法是对Bellman-Ford算法的优化,但是不是所有用Bellman-Ford算法的问题都能用SPFA来代替。例如,对最短路经过的边数做一个限制,要求经过的边数 ≤ k \leq k ≤k的最短路,这个时候能用Bellman-Ford算法,但是不能用SPFA算法来做。
SPFA算法是单源点最短路问题中限制最少的算法,在,单源点最短路的时候,只要图中没有负环就可以用SPFA算法,而且一般要求单源点最短路的问题都是没有负环的。只是如果没有负权边的话,用Dijkstra会更快,都是在有负权边的时候才用SPFA。
在Bellman-Ford算法中,循环 n n n次里,每次都要遍历所有的 m m m条边来做松弛操作更新 d i s t dist dist数组,但是实际上并不是每条边都能实际产生更新,SPFA就是对这个地方进行了优化。
观察
d i s t [ b ] = m i n ( d i s t [ b ] , l a s t [ a ] + w ) dist[b] = min(dist[b], last[a] + w) dist[b]=min(dist[b],last[a]+w)
可以发现,只有上一轮的 d i s t [ a ] dist[a] dist[a](也就是这一轮的 l a s t [ a ] last[a] last[a])变小了,这里的 l a s t [ a ] + w last[a] + w last[a]+w才会变小,才可能在这个式子里发生对 d i s t [ b ] dist[b] dist[b]的更新。而 b b b是 a a a的后继,只有前驱结点变小了后继结点才会发生更新。
SPFA就是这样,用宽搜来做优化,维护一个队列,最开始先将起点(例如,是 1 1 1号点就加入 1 1 1)加到队列里去,作为更新的前驱。队列里存的始终是所有“变小了”的结点,所以只要队列不空,每次就应该取出队列里的所有结点,然后用这些结点出来的边来做更新,把这些边对应的后继结点全部放到队列里去。
这里如果用层序遍历的思想,则是要循环 n n n次,然后每次都把队列里所有的拿出来更新。但是实际上有更加自然的思想,就是不需要维护当前在第几层更新,而是只有更新成功的时候才把后继结点加入到队列里,这样只要队列空了那么所有的更新也就结束了。
这个过程写成伪代码如下:
将起点编号加入到队列里
while 队列不空
取出队头t,注意pop出来
更新t的所有出边,t-w->b,只有更新成功的时候,才把b加入到队列里
另外在加入队列之前可以再优化一下,如果队列里已经有 b b b了,就不用再加入了,因为在未来的某个时刻一定会把 b b b拿出来更新,这就足够了,不需要在意是因为结点 t 1 t_1 t1还是 t 2 t_2 t2的更新来导致了 b b b这个结点的变小,使 b b b的后继也要跟着更新。
模板题:spfa求最短路。
注意SPFA相比Bellman-Ford算法的优化之后,每次是要拿出一个结点的所有后继边来尝试更新的,所以这个时候“结点后继”这个语义是需要的了,因此不能像Bellman-Ford算法那样直接把所有的边存到数组里去,这里直接存到邻接表里。
用STL的队列,不好判断一个结点是不是已经存在队列里了,这里的实现方式是用一个st
数组来同步记录这个消息:如果一个结点t
出队列了,就st[t] = false
;如果一个结点b
进入队列了,就st[b] = true
。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N;
// 带边权邻接表
int h[N], e[M], ne[M], idx, w[M];
void add_edge(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx ++ ;
}
// 从源点1到每个结点的距离
// SPFA里不需要last数组,实际上SPFA的代码和Dijkstra的更像
int dist[N];
// st[j]记录结点j是否已经存在队列里,用于优化
bool st[N];
// SPFA算法求最短路,答案存在dist里
void spfa() {
// 初始化dist数组
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 队列里保存更新了距离的结点,这些结点的后继要更新
queue<int> q;
q.push(1);
// 注意st数组和队列要同步操作,后同
st[1] = true;
// 只要队列不空,就要一直更新
while (q.size()) {
// 取出队头元素t
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
// 对于t的所有后继b
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int b = e[i];
// 如果能成功更新
if (dist[b] > dist[t] + w[i]) {
// 更新一下
dist[b] = dist[t] + w[i];
// 这个判断是优化,不判断而直接执行也行
// 只要队列里没有,就加到队列里去
if (!st[b]) {
q.push(b);
st[b] = true;
}
}
}
}
}
int main() {
// 清空邻接表
memset(h, -1, sizeof h);
// 读取所有边
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i ++ ) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add_edge(a, b, c);
}
// 用SPFA跑一遍,dist数组里存的就是到每个点的最短路长度了
spfa();
// 这里也和B-F算法不一样
// 由于SPFA从结点1开始确定地更新,不会出现inf更新其它结点的情况
// 所以这里判断的时候直接写和inf做相等比较
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) cout << "impossible" << endl;
else cout << dist[n] << endl;
return 0;
}
模板题:spfa判断负环。
如果有负权回路的话,求单源点最短路的过程就会一直下去,因为有负权回路的最短路可以一直越来越短。
由于SPFA里dist[j]
记录了到j
的最短距离,只要再维护一个cnt[j]
表示到j
经过了多少步就行了,所以如果经过了达到n
步以上,这个路径上就一定有环,所以一定是负环。这和上一节学的用Bellman-Ford算法判断负环的思路是一样的。
写的时候大框架都是一样的,主要区别就是因为负环可以从任何一个点出发,所以初始的时候要把所有结点都加入到队列里。
另外在更新的时候,如果用 t t t更新 b b b更新成功了,那么到 b b b的距离 c n t [ b ] cnt[b] cnt[b]就应该更新成到 t t t的距离加上 1 1 1,也就是 c n t [ t ] + 1 cnt[t] + 1 cnt[t]+1。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N;
int h[N], e[M], ne[M], idx, w[M];
void add_edge(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
w[idx] = c;
h[a] = idx ++ ;
}
int n, m;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];
bool spfa() {
// 由于所有点都要入队,所以dist的语义已经不是单源点的最短路长度了
// 而且求的不再是距离的绝对值,这里就默认全是0也一样能判断负环
// memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
// dist[1] = 0;
// 注意所有点出发都可能有负环,所以入队
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size()) {
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int b = e[i];
// 只要成功发生更新
if (dist[b] > dist[t] + w[i]) {
dist[b] = dist[t] + w[i];
// 到b的距离就是到前驱t的距离再加1
cnt[b] = cnt[t] + 1;
// 立刻判断是不是达到n条边了,达到了就有环了
if (cnt[b] >= n) return true;
if (!st[b]) {
q.push(b);
st[b] = true;
}
}
}
}
// 如果更新有尽头(才会到这),就一定没有环,也就没有负环
return false;
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i ++ ) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add_edge(a, b, c);
}
if (spfa()) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;
return 0;
}
特别注意在这种求任意点出发的负环里,dist
已经只是作为一个“比较和更新”的工具来用了,它的值是多少不关心,它的语义也不再是从单源点到某个点的最短路长度了。由于不关心距离的绝对值,所以也没必要初始化为正无穷,只要保证里面的数初始都是一样的,这样就能正常的根据w
来更新就行了。
模板题:spfa求最短路。
import java.util.*;
public class Main {
private static int n, m;
private static int h[], e[], ne[], idx, w[];
private static void add_edge(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
private static final int INF = (int) 1e9;
private static boolean st[];
private static int dist[];
private static void spfa() {
st = new boolean[n + 1];
dist = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
dist[1] = 0;
Queue<Integer> q = new ArrayDeque<>();
q.add(1);
st[1] = true;
while (q.size() != 0) {
int t = q.poll();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[t] + w[i] < dist[j]) {
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) {
q.add(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
h = new int[n + 1];
e = new int[m];
ne = new int[m];
w = new int[m];
for (int i = 1; i <= n; i++) h[i] = -1;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int x = scanner.nextInt();
int y = scanner.nextInt();
;
int z = scanner.nextInt();
add_edge(x, y, z);
}
spfa();
if (dist[n] == INF) System.out.println("impossible");
else System.out.println(dist[n]);
}
}
模板题:spfa判断负环。
import java.util.*;
public class Main {
private static final int INF = (int) 1e9;
static int n, m;
static int h[], e[], ne[], idx, w[];
static void add_edge(int a, int b, int c) {
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
static int[] dist, cnt;
static boolean[] st;
static boolean spfa() {
dist = new int[n + 1];
cnt = new int[n + 1];
st = new boolean[n + 1];
// for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
// dist[1] = 0;
// 注意所有结点都要入队
Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
for (int i = 1; i <= n; i++) q.add(i);
while (q.size() > 0) {
int t = q.poll();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[t] + w[i] < dist[j]) {
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] == n) return true;
if (!st[j]) {
q.add(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
h = new int[n + 1];
e = new int[m];
ne = new int[m];
w = new int[m];
for (int i = 1; i <= n; i++) h[i] = -1;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int x = scanner.nextInt();
int y = scanner.nextInt();
int z = scanner.nextInt();
add_edge(x, y, z);
}
if (spfa()) System.out.println("Yes");
else System.out.println("No");
}
}
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