本系列整理自博主21年秋季学期本科课程 数值分析I 的编程作业,内容相对基础,参考书: David Kincaid, Ward Cheney - Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing (2002, Americal Mathematical Society)
目录
2. Theorem on Newton's Method for Convex Function
1. 压缩映射定理(Contractive Mapping Theorem)
求非线性方程的数值解,即寻找x使得目标函数f(x)=0
要求f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b) < 0.
令c=a+(b-a)/2,检验f(a)f(c) < 0是否为真,若真,则令b=c;若否,且f(a)f(c)!=0,则令a=c.
重复上述过程,直到f(a)f(c)=0即f(c)=0时停止。数值上,一般要求|f(c)|的值小于某个数,或区间长度小于某个数时,停止程序。
该算法线性收敛于方程的根。
#include<iostream>
#include<math.h>
#include <iomanip>
using namespace std;
int M 50;//set the step M large enough
double f(double x){}//the target function
int sign(double x) {
if (x > 0)
return 1;
else if (x == 0)
return 0;
else return -1;
}
int bisection(double a, double b) {
//apply bisection on function f on interval [a,b]
double left = a, right = b, length = mid = 0, valuel = f(left), valuer = f(right), valuem = 0;
cout << "---------------------------------------------------------------------------" << endl;
cout << setw(2) << " k"
<< setw(10) << "left"<< setw(13) << "f(left)"
<< setw(10) << "right" << setw(15) << "f(right)"
<< setw(10) << "mid" << setw(13) << "f(mid)" << endl;
cout << "---------------------------------------------------------------------------" << endl;
if (sign(valuel) == sign(valuer)) {
length = right - left;
mid = left + length / 2;
valuem = f(mid); valuel = f(left); valuer = f(right);
cout << setw(6) << 1
<< setw(10) << left<< setw(15) << valuel
<< setw(10) << right << setw(15) << valuer
<< setw(10) << mid << setw(15) << valuem<< endl;
cout << "---------------------------------------------------------------------------" << endl;
cout << "f(x) signs same at both ends of the interval ["< a < <", "< < b < <"], cannot use bisection algrithm to find the root." << endl;
return -1;
}
for (int k = 1; k <= M; k++) {
length = right - left;
mid = left + length / 2;
valuem = f(mid); valuel = f(left); valuer = f(right);
cout << setw(6) << k
<< setw(10) << left << setw(15) << valuel
<< setw(10) << right << setw(15) << valuer
<< setw(10) << mid << setw(15) << valuem << endl;
if (abs(length) < 0.0001 || abs(valuem) < 0.0001)//stop when the value of function is smaller than 0.0001
break;
if (sign(valuem) != sign(valuel))
right = mid;
else
left = mid;
}
cout << "---------------------------------------------------------------------------" << endl;
if (abs(length) < 0.0001 && abs(valuem) > 100)//this determination condition should be modified according to different functions
cout << "f(x) has no root on interval [" << a << ", " << b << "],and it tend to infinity at the point x=" << mid << endl;
else
cout << "the root of f(x) on interval [" << a << "," << b << "] is x = " << mid << endl;
return 1;
}
令r为f的零点,x趋向于r,由Taylor定理:0=f(r)=f(x+h)=f(x)+h*f'(x)+O(h^2),其中O(h^2)可以忽略,推出h= - f(x)/f'(x),从而零点 r=x+h=x - f(x)/f'(x)
牛顿迭代公式:
该算法二次收敛于方程的根。
#include<iostream>
#include<math.h>
#include <iomanip>
using namespace std;
int M = 50;//the maximum of operation step
double f(double x){}//the target function
double df(double x){}//the derivative of f
double Newton_Method(double x) {//x is the initial value
cout << " Newton's method" << endl;
cout << "-----------------------------------------------" << endl;
cout << setw(9) << " k" << setw(13) << "x_k"
<< setw(15) << "f(x_k)" << setw(15) << "df(x_k)"
<< resetiosflags(ios::left) << endl;
cout << "-----------------------------------------------" << endl;
double y = f(x);
for (int k = 1; k <= M; k++) {
cout << setw(7) << k << setw(13) << x
<< setw(15) << y << setw(15) << df(x)<< endl;
if (abs(y) == 0)
break;
x = x - y / df(x);
y = f(x);
}
cout << "-----------------------------------------------" << endl;
cout << "the root of the function f is x = " << x << endl;
return 0;
}
对于牛顿迭代,若 f'' 连续,r 为 f 单根,则存在 r 的领域 B 和常数 c,当初值 x0∈B 时,xn 将稳定趋于 r,且二阶收敛
若 r 为 k 重根,将迭代公式修改为
且 xn 一阶收敛于 r
若 f 二次连续可导,单调,凸,且存在唯一零点,则任意初值,牛顿迭代都将收敛于该零点。
超线性收敛:
r 为零点,记 en=xn-r,由Taylor定理:f(xn)=f(r+en)=f(r)+en f'(r)+1/2 en^2 f''(r) +O(en^3),推出
f(xn)/en=f'(r)+1/2 en f"(r)+O(en^2),同理f(xn-1)/en-1=f'(r)+1/2 en-1 f"(r)+O(en-1^2)
由(xn-xn-1)/(f(xn)-f(xn-1))≈1/f'(r),
记C=1/2 f''(r)/f'(r),则
注:
弦方法收敛阶高于二分法,低于牛顿法。相比于牛顿迭代,弦方法不需要对函数求导,用“弦”来代替导数。
设C为实数集R的闭子集,F:C->C压缩映射,则F有唯一不动点s,即任意初值x0∈C,xn收敛于s,且{xn}为Cauchy列。
记en=xn-s,若F'存在且连续,由中值定理,即
在不动点s处,设,且
,则
对F(s+en)做Taylor展开,可得
即迭代法 q阶收敛于s
算法不足:由于函数f使用全局定义,故程序一次只能操作一个函数,不能同时对多个函数求根。
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