1 PR控制器

1.1 PI控制器应用的局限性

• 通过dq动态坐标系，可以实现对电源系统的有功和无功分别控制，通过前馈交叉项补偿实现零稳态误差，但在当系统长时间工作之后，电源随着发热导致电感，电阻等参数会逐渐不准确，从而使得前馈耦合项不准确，使得系统控制精度下降；
• 对于直流控制系统（阶跃信号）使用PI控制，能够实现零稳态误差，但是对于交流控制系统，PI控制效果往往差强人意，达不到预期效果，而使用Clark、Park变换将交流量变化为直流量再使用PI控制，不仅使得计算量增加还让控制逻辑变得更复杂。
• 根据内模原理，要实现对信号的无静差跟踪，控制器必须包含信号的的模型，PI的积分环节的传递函数为$\frac{1}{s}$，所以PI控制只能对阶跃信号进行无静差跟踪，而余弦信号的传递函数为 L { c o s ( w t ) } = s s 2 + w 2 L\{cos(wt)\}=\frac{s}{s^2+w^2} L{ cos(wt)}=s2+w2s​，故：如若要实现无静差跟踪，控制器模型中必须包含$\frac{s}{s^2+w^2}$——PR控制器的谐振环节满足。

1.2 PR控制器

  工程近似PR控制器传递函数为：
$$G_{PR}(s)=\approx \frac{1}{2}[G_{PI}(s+j{w}_0)+G_{PI}(s-j{w}_0)]=Kp+\frac{K_{i}s}{s^2+w_o^2}$$
  根据 L { e − a t } = 1 s + a L\{ e^{-at} \}=\frac{1}{s+a} L{ e−at}=s+a1​有：
F ( s ) = L { c o s ( w t ) } = L { ∫ 0 ∞ e − s t c o s ( w t ) d t } = L { 1 2 ∫ 0 ∞ e − s t ( e j w t + e − j w t ) } ⇒ s s 2 + w 2 F(s)=L\{cos(wt)\}=L\{ \int_{0}^{\infty} {e^{-st}cos(wt)dt}\}=L\{ \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty}{e^{-st}(e^{jwt}+e^{-jwt})} \} \Rightarrow \frac{s}{s^2+w^2} F(s)=L{ cos(wt)}=L{ ∫0∞​e−stcos(wt)dt}=L{ 21​∫0∞​e−st(ejwt+e−jwt)}⇒s2+w2s​
  定义：$G_{PR}(s)=K_p+\frac{K_{r}s}{s^2+w_0^2}$显然谐振环节是PR控制器的核心，其中，$K_p、K_r$分别为比例增益系数和谐振增益系数，$w_0$为谐振频率。
  PR控制器的增益函数为：
$$|G_{PR}(s)I_{s=j{w}_0}|=\sqrt{K_p^2+\frac{K_r{w}_0}{-{w_0}^2+w_0^2}}$$
  PR控制器在$w_0$处的增益接近于无限大，在其他频率下增益低，能够有效地抑制扰动信号。可以把PR看作带宽极窄的二阶带通滤波器。

  下图为PR控制器的波特图：(注：横坐标单位是rad/s，可以右键点击“属性”–>“单位”–>“频率”–>“HZ”)

  附matlab绘图代码：

% % %理想PR控制器Bode图
Kr = 1;Kp = 1;wo = 100*pi;PR_ideal1 = Kp +tf([Kr,0],[1,0,wo^2]);
Kr = 10;Kp = 1;wo = 100*pi;PR_ideal2 = Kp +tf([Kr,0],[1,0,wo^2]);
bode(PR_ideal1,PR_ideal2);grid on;
legend('Kr=1','Kr=10');
title('PR控制器Bode图')

  理想的PR控制器是完全可以实现对应频率的交流量实现无静差跟踪的，但是在谐振频率附近的频段带宽过于狭窄，而在$w_0$处的增益过高，会使得系统的稳定性不够，当交流信号发生些许偏移时，PR控制器就无法精准工作在预设频率上了，虽然可以通过调节$K_r$增大带宽，但是会使得增益变化和相位变化明显增大，会造成系统不稳定。由于PR控制器对于电网参数过于敏感，所以通常不在实际中运用。

2 准PR控制器

2.1 准PR控制器传递函数

  为了提高PR控制器抵抗网侧频率干扰的能力，对PR控制器进行改进，改进后的传递函数如下所示：
$$G_{PR}(s)=K_p+\frac{2K_r{w}_{c}s}{s^2+2w_{c}s+w_0^2}$$
  其中$w_c$为截止频率，代表控制器跟踪参考信号的响应速度
  准PR控制器的增益函数：
$$|G_{PR}(s){|}_{s=j{w}_0}=K_p+K_r$$
  根据准PR增益函数可知，当输入信号频率为$w_0$时，增益为$(K_p+K_r)$，不再像PR控制器那样增益无穷大。
  下图为准PR控制器的波特图：

  附matlab绘图代码：

% % %准PR控制器Bode图
Kp = 1;Kr = 1;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs1 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 1;Kr = 10;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs2 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
bode(PRs1,PRs2);grid on;
legend('Kr=1','Kr=10');
title('准PR控制器Bode图')

  通过准PR控制器的Bode图可知增益幅度符合传递函数所述，同时调节谐振增益系数可以增大谐振频率附近的频段带宽。

2.2 准PR控制器各系数作用

  使用控制变量，分别对与不同的Kp、Kr、wc进行比较，熟悉不同参数对于控制器带来的影响，如下图所示：

1. 当$K_p$增大，整体增益随之增大，加入$K_p$是为了调节系统的动态性能；
2. 根据传递函数可知，PR控制器在$w_0$处的增益不再是无穷大，而是$20log(K_p+K_r)$，如上图，当$K_p、w_c$相同时，控制器的增益随$K_r$增大而增大，而谐振频率附近的带宽也有所增加，所以调节$K_r$使得准PR控制器有足够大的增益，实现零稳态误差；
3. 当$K_p、K_r$相同时，增加$w_c$可以提升带宽，加快响应速度，但是可能会引入高频噪声，根据国际规定，电网侧波动的范围为：$\pm 0.5Hz$，对应截止频率最值为：$w_{cmax}=3.14rad/s$，所以$w_c$的取值范围为：$03.14rad/s$，通常选取$0.628rad/s$。

  附matlab绘图代码：

% % %使用控制变量，分别对与不同的Kp、Kr、wc进行比较，熟悉不同参数对于控制器带来的影响
figure()
subplot(1,3,1)
Kp = 1;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs1 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 10;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs2 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 100;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs3 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
bode(PRs1,PRs2,PRs3);grid on;
legend('KP=1','KP=10','KP=100');title('变KP')

subplot(1,3,2)
Kp = 1;Kr = 10;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs1 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 1;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs2 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 1;Kr = 1000;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs3 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
bode(PRs1,PRs2,PRs3);grid on;
legend('Kr=10','Kr=100','Kr=1000');title('变Kr')

subplot(1,3,3)
Kp = 1;Kr = 100;wc = 0.1*2*pi;wo = 100*pi;PRs1 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 1;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;PRs2 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
Kp = 1;Kr = 100;wc = 1*2*pi;wo = 100*pi;PRs3 = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1 2*wc wo*wo]);
bode(PRs1,PRs2,PRs3);grid on;
legend('wc=0.1*2*pi','wc=0.5*2*pi','wc=1*2*pi');title('变wc')

3 PR控制器传递函数离散化

3.1 Matlab实现PR控制器传递函数离散化

在进行理论分析时，Matlab实现离散化很方便。
  当$K_p=10、K_r=100、wc=0.5\ast 2\ast \pi 、wo=100\pi$时，连续时间模型为：

  当采样时间$Ts=10^{-6}$时，其他参数不变，离散时间模型为：

  附matlab转换代码：(注：表达式后面不要加“ ; ”，静态检查的警告忽略)

% % % 准PR控制器传递函数离散化，其中Ts、Kp、Kr、wo、wc自定义输入
Ts = 1*10^-6;Kp = 10;Kr = 100;wc = 0.5*2*pi;wo = 100*pi;
sysc = Kp+tf([2*Kr*wc,0],[1,2*wc,wo*wo])%sysc为连续时间模型
sysd = c2d(sysc,Ts,'tustin')%sysd为带采样时间Ts的离散时间模型

3.2 计算推导实现PR控制器传递函数离散化

  在DSP或单片机中对于仅改变$K_p、K_r、wc、wo$离散化传递函数可过程借助编程得到，而不需要借助三方软件计算得到离散化传递函数，故而具备离散化的计算推导能力是很有必要的。
  使用Tustin变换（大多数DSP厂家算法库的选择），$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$，带入PR传递函数，便可以得到PR控制器的差分方程，再根据差分方程得到离散域表达式（二者只是形式不一样），根据Z域表达式进行代码实现。
差分方程：
$$\frac{Y(z)}{Xz}=\frac{a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+...+a_k{z}^{-k}}{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+...+b_k{z}^{-k}}$$
  Z域表达式：
$$b_{0}y[n]+b_{1}y[n-1]+b_{2}y[n-2]+...+b_{k}y[n-k]=a_{0}x[n]+a_{1}x[n-1]+a_{2}x[n-2]+...+a_{k}x[n-k]$$
  PR控制器离散化推导过程：
$$\begin{array}{rl}PR(s)& =K_p+\frac{2K_{r}wcs}{s^2+2wcs+w_0^2}\\ & =\frac{s_p^K+2wcs{K}_p+w_0^2{K}_p+2K_{r}wcs}{s^2+2wcs+w{0}^2}\\ & =\frac{s^2{K}_p+2wcs(K_p+K_r)+w_0^2{K}_p}{s^2+2wcs+w_0^2}\end{array}$$
  将$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}$带入上式，得差分方程：
$$\begin{array}{rl}PR(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}& =\frac{K_p(\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}{)}^2+(2wc{K}_p+2wc{K}_r)(\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1})+K_p{w}_0^2}{(\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}{)}^2+2wc(\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1})+w_0^2}\\ & =\frac{\frac{4K_p}{T_s^2}(z^2-2z+1)+\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)(z^2-1)+K_p{w}_0^2(z^2+2z+1)}{\frac{4}{T^2}(z^2-2z+1)+\frac{4wc}{T_s}(z^2-1)+w_0^2(z^2+2z+1)}\\ & =\frac{(\frac{4K_p}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}+K_p{w}_0^2)z^2+(-\frac{K_p}{T_s^2}+2K_p{w}_0^2)z+[\frac{4K_p}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)+K_p{w}_0^2]}{(\frac{4}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)z^2+(-\frac{8}{T_s^2}+2w_0^2)z+(\frac{4}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)}\\ & =\frac{[\frac{4K_p}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)+K_p{w}_0^2]+(-\frac{8K_p}{T_s^2}+2K_p{w}_0^2)z^{-1}+[\frac{4K_p}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)+K_p{w}_0^2]z^{-2}}{(\frac{4}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)+(-\frac{8}{T_s^2}+2w_0^2)z^{-1}+(\frac{4}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)z^{-2}}\end{array}$$
  Z域表达式：
$$b_{0}y[n]+b_{1}y[n-1]+b_{2}y[n-2]=a_{0}x[n]+a_{1}x[n-1]+a_{2}x[n-2]$$
$$\{\begin{array}{l}{a}_0=(\frac{4K_p}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)+K_p{w}_0^2)\\ a_1=(-\frac{8K_p}{T_s^2}+2K_p{w}_0^2)\\ a_2=[\frac{4K_p}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}(K_p+K_r)+K_p{w}_0^2]\end{array}\{\begin{array}{l}{b}_0=(\frac{4}{T_s^2}+\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)\\ b_1=(-\frac{8}{T_s^2}+2w_0^2)\\ b_2=(\frac{4}{T_s^2}-\frac{4wc}{T_s}+w_0^2)\end{array}$$
  通常会将差分方程表示成：
$$\begin{gathered} \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+...+a_k{z}^{-k}}{1+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+...+b_k{z}^{-k}} \\ y[n]+b_{1}y[n-1]+b_{2}y[n-2]=a_{0}x[n]+a_{1}x[n-1]+a_{2}x[n-2] \end{gathered}$$
  故而在代码实现中可以看到$a_0、a_1、a_2、b_1、b_2$各系数除以$b_0$。

4 总结

  比例增益系数$K_p$和谐振增益系数$K_r$主要影响控制器的增益和相位裕度，截止频率$w_c$主要影响谐振频率$w_o$处的带宽，调节$K_p$和$K_r$可以优化系统的动态性能和稳态性能，调节$w_c$可以改善系统的抗干扰能力。

相关资源附件：

PR控制器基于Matlab绘制Bode图
准PR控制器程序