组合数性质--二项式系数之和等于2^n的证明_组合数求和等于2n证明-程序员宅基地

1.公式

首先我们都知道组合数的意义，就是说一共有n个样本，一次性从中取出m个样本，一共有多少种不同的取法。它的公式如下：

它有这么一个性质：

该性质有若干种证明方式，今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。

2.证明

想必大家都知道有关的另一个公式：
关于这个公式的系数（也就是c(n,0),c(n,1)…）可以这么理解：
首先知道，(a+b) ^n 的展开式一共有n+1项，分别是a ^n，a ^n-1b，…ab ^n-1，b ^n。
(a+b) ^n 就是有n个（a+b）相乘，相当于(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b)，一共n个。
对于a^n，相当于是从n项中找n个a相乘，其系数就是C(n,0)=1，
对于a^n-1b，相当于是从n项中找 (n-1) 个a和 1 个b相乘，其系数就是C(n,1)=n，
对于a^n-2*b ^2，相当于是从n项中找 (n-2) 个a和 2 个b相乘，其系数就是C(n,2)，
…
…
对于b^n，相当于是从n项中找 n 个b相乘，其系数就是C(n,n)=1，
由此可知：组合数之和 = 二项式的系数之和 = （a+b）^n一共的项数
很明显，（a+b）^n，一共有2 ^n个系数为1的项

	（a+b）^n
n=1	2项
n=2	4项
n=3	8项
…	…
n=k	2^k项

这也算是加深了自己的理解吧，以前一直只知道死记公式，从不想为什么，今后这毛病得改。。。

本文链接：https://blog.csdn.net/qq_23946481/article/details/93516332

原作者删帖不实内容删帖广告或垃圾文章投诉

智能推荐

c# 调用c++ lib静态库_c#调用lib-程序员宅基地

文章浏览阅读2w次，点赞7次，收藏51次。四个步骤1.创建C++ Win32项目动态库dll 2.在Win32项目动态库中添加外部依赖项 lib头文件和lib库3.导出C接口4.c#调用c++动态库开始你的表演...①创建一个空白的解决方案，在解决方案中添加 Visual C++ , Win32 项目空白解决方案的创建：添加Visual C++ , Win32 项目这......_c#调用lib

deepin/ubuntu安装苹方字体-程序员宅基地

文章浏览阅读4.6k次。苹方字体是苹果系统上的黑体，挺好看的。注重颜值的网站都会使用，例如知乎：font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, Helvetica Neue, PingFang SC, Microsoft YaHei, Source Han Sans SC, Noto Sans CJK SC, W..._ubuntu pingfang

html表单常见操作汇总_html表单的处理程序有那些-程序员宅基地

文章浏览阅读159次。表单表单概述表单标签表单域按钮控件demo表单标签表单标签基本语法结构<form action="处理数据程序的url地址“ method=”get|post“ name="表单名称”></form><!--method将表单中的数据传送给服务器处理，get方式直接显示在url地址中，数据可以被缓存，且长度有限制；而post方式数据隐藏传输，_html表单的处理程序有那些

PHP设置谷歌验证器（Google Authenticator）实现操作二步验证_php otp 验证器-程序员宅基地

文章浏览阅读1.2k次。使用说明:开启Google的登陆二步验证（即Google Authenticator服务）后用户登陆时需要输入额外由手机客户端生成的一次性密码。实现Google Authenticator功能需要服务器端和客户端的支持。服务器端负责密钥的生成、验证一次性密码是否正确。客户端记录密钥后生成一次性密码。下载谷歌验证类库文件放到项目合适位置(我这边放在项目Vender下面)https://github.com/PHPGangsta/GoogleAuthenticatorPHP代码示例://引入谷_php otp 验证器

【Python】matplotlib.plot画图横坐标混乱及间隔处理_matplotlib更改横轴间距-程序员宅基地

文章浏览阅读4.3k次，点赞5次，收藏11次。matplotlib.plot画图横坐标混乱及间隔处理_matplotlib更改横轴间距

docker — 容器存储_docker 保存容器-程序员宅基地

文章浏览阅读2.2k次。①Storage driver 处理各镜像层及容器层的处理细节，实现了多层数据的堆叠，为用户提供了多层数据合并后的统一视图②所有 Storage driver 都使用可堆叠图像层和写时复制（CoW）策略③docker info 命令可查看当系统上的 storage driver主要用于测试目的，不建议用于生成环境。_docker 保存容器

随便推点

网络拓扑结构_网络拓扑csdn-程序员宅基地

文章浏览阅读834次，点赞27次，收藏13次。网络拓扑结构是指计算机网络中各组件（如计算机、服务器、打印机、路由器、交换机等设备）及其连接线路在物理布局或逻辑构型上的排列形式。这种布局不仅描述了设备间的实际物理连接方式，也决定了数据在网络中流动的路径和方式。不同的网络拓扑结构影响着网络的性能、可靠性、可扩展性及管理维护的难易程度。_网络拓扑csdn

JS重写Date函数，兼容IOS系统_date.prototype 将所有 ios-程序员宅基地

文章浏览阅读1.8k次，点赞5次，收藏8次。IOS系统Date的坑要创建一个指定时间的new Date对象时，通常的做法是：new Date("2020-09-21 11:11:00")这行代码在 PC 端和安卓端都是正常的，而在 iOS 端则会提示 Invalid Date 无效日期。在IOS年月日中间的横岗许换成斜杠，也就是new Date("2020/09/21 11:11:00")通常为了兼容IOS的这个坑，需要做一些额外的特殊处理，笔者在开发的时候经常会忘了兼容IOS系统。所以就想试着重写Date函数，一劳永逸，避免每次ne_date.prototype 将所有 ios