病房中的不确定性

首先我们专注于一个简单的问题。在其他条件都相同的情况下，这三个病人中的哪个面临着最大的不确定性？

这个问题的答案是显而易见的，病人 C。他所面临的是在这种情况下可能呢存在的最大程度的不确定性：就像医疗版本的抛硬币试验一样。

对于病人 A 来说，虽然他的情况不容乐观，但是至少他对于是否患病这个问题有最小的不确定性。对于病人 B，他的不确定性在病人 A 和病人 C 之间。

这就是为什么要引入熵这个概念的原因：描述一个状况下的不确定性为在xx和xx之间，在日常生活环境下这种精细程度可能足够了，但是对于机器学习任务来说，这种描述太宽泛了。

不确定性度量

熵允许我们对于生活中的一个重要问题：事情最终会发展到什么样的结果，进行精确度量和计算。

换种说法，熵是一种不确定性的度量。

在本篇文章中，熵都是指代香农熵(Shannon entropy)。其实还有几种其他类型的熵，但是在自然语言处理或者机器学习领域中，我们提到的熵都是香农熵。

所以在没有特意说明的情况下，下面就是熵的公式。对于事件X，有n种可能结果，且概率分别为p_1, ... p_n，公式为：

基本性质

如果你是第一次看到这个公式，你可能会提出一个问题：为什么要用对数？为什么这个公式就能够度量不确定性？当然，还有为什么要用字母H来表示熵？(表面上这个英文字母H是从希腊大写字母Eta上演变过来的，但实际上为什么采用了字母H来表示，还是有一段复杂的历史的，感兴趣的可以看这个问题：Why use H for entropy?)

对于很多情况下的问题，我认为从以下两点切入是很好的选择：(1)我所面对的这个数学结构有那些理想的属性？(2)是否有其他结构也能够满足所有这些理想的属性？

对于香农熵作为不确定性的度量来说，这两个问题的答案分别是：(1)很多，(2)没有。

我们来一个一个看我们希望熵的公式应该具有哪些性质。

基本性质1：均匀分布具有最大的不确定性

如果你的目标是减小不确定性，那么一定要远离均匀概率分布。

简单回顾一下概率分布：概率分布是一个函数，对于每个可能的结果都有一个概率，且所有的概率相加等于 1。当所有可能的结果具有相同的可能性时，该分布为均匀分布。例如：抛硬币实验(50% 和 50% 的概率)， 均匀的骰子(每个面朝上的概率都为六分之一)。

均匀分布具有最大的熵

一个好的不确定性度量会在均匀分布时达到最大的值。熵满足这个要求。给定 n 个可能的结果，最大的熵在所有结果的概率相同时得到。

下面是对于伯努利试验中熵的图像。(伯努利试验有两种可能的结果：p和1-p)：

在伯努利试验中，当p=0.5时，熵达到最大

基本性质2：对于独立事件，不确定性是可加的

假设 A 和 B 是独立事件。换句话讲，知道事件 A 的结果并不会丝毫影响 B 的结果。

关于这两个事件的不确定性应该是两个事件单独的不确定性的和，这也是我们希望熵的公式应该具备的性质。

对于独立事件，不确定性是可加的

让我们使用抛两个硬币的试验作为例子来使这个概念更加具体。我们既可以两个硬币同时抛，也可以先抛一个硬币再抛另一个硬币。在两种情况下，不确定性是相同的。

考虑两个特殊的硬币，第一个硬币正面朝上 (H, Head) 的概率为80%，背面朝上 (T, Tail) 的概率为 20%。另一个硬币的正面朝上和反面朝上的概率分别为 60% 和 40%。如果我们同事抛两枚硬币，那么有四种可能：正正，正反，反正，反反。对应的概率分别为[0.48, 0.32, 0.12, 0.08]。

两个独立事件的联合熵等于独立事件的熵的和

将这些概率带入到熵的公式中，我们能够看到：

就跟我们设想的一样，两个独立事件的联合熵等于各个独立事件的熵的和。

基本性质3：加入发生概率为0的结果并不会有影响

假设有一个游戏，获胜条件如下：(a)只要#1号结果出现，你就赢了。(b)你可以在两个概率分布 A 和 B 中选一个进行游戏。分布 A 有两种可能，#1号结果为 80% 概率，#2号结果为 20% 概率。分布 B 有三种结果，#1号结果80%，#2号结果20%，#3号结果0%.

增加第三个概率为0的结果并不会有什么不同

给定 A 和 B 两个选择，你会选哪个？可能正确的反应应该是耸耸肩或白个眼。第三个结果的加入并没有增加或减少这个游戏的不确定性。谁关心到底是用A还是B呀，因为用哪个都是一样的。

熵的公式也满足这个性质：

即，增加一个概率为0的结果，并不会影响对于不确定性的度量。

基本性质4：不确定性的度量应该是连续的

最后一个基本性质是连续性。

连续性的最直观的解释就是没有断开或者空洞。更精确的解释是：输出(在我们的场景下是不确定性)中任意小的变化，都可以由输入(概率)中足够小的变化得到。

对数函数在定义域上每个点都是连续的。在子集上有限数量函数的和和乘积也是连续的。由此可能得出熵函数也是连续的。

唯一性定理

Khinchin(1957)证明，满足上述四种基本属性的唯一函数族具有如下形式：

其中λ是正常数。Khinchin称之为唯一性定理。将λ设为1，并使用以2为底的对数就得到了香农熵。

重申一下，使用熵作为不确定性度量是因为它具有我们期望的属性，并且是从满足上面提到的四个属性的函数族中做出的很自然的选择。

其他属性

除了上述用于Khinchin的唯一性定理中的四个基本属性，熵还具有一些其他的性质，下面就介绍其中的一些。

性质5：具有更多可能结果的均匀分布有更大的不确定性

比如你可以在抛硬币试验和抛骰子试验中做出一个选择，如果硬币正面朝上或者骰子1那面朝上就算赢。你会选择那个试验？如果你想最大化收入，肯定会选择硬币。如果只是想体验下不确定性，那可能就会选骰子。

随着等概率结果的数量的增加，不确定性的度量也应该增加。

这正是熵所做的：H(1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6)> H(0.5， 0.5)

一般来说，L(k)为具有K个结果的均匀分布的熵，我们能够得到：

对于m>n，有

性质6：事件拥有非负的不确定性

你知道什么是负的不确定性吗？反正我也不知道。

对于一个用户友好的不确定性度量来说，无论输入是什么，应该总会返回一个非负的结果。

熵的公式同样满足这个性质，我们来看一下公式：

概率是定义在0-1的范围内的，因此是非负的。所以概率的对数是负的。概率乘概率的对数不会改变符号。因此求和之后应该是负的，最终负负得正。所以对于所有的输入，熵都是非负的。

性质7：有确定结果的事件具有0不确定性

假设你拥有一个魔法硬币，无论你怎么抛，硬币总是正面朝上。

你会怎么量化这个魔法硬币的不确定性，或者其他情况下有确定结果的事件的不确定性？这中情况下就没有不确定性，所以结果也很自然，不确定性为0。

熵的定义也满足这个性质。

假设结果i一定会发生，即p_i=1， 所以H(X)为：

即，确定事件的熵为0。

性质8：调转参数顺序没有影响

这是另一个显而易见的理想性质。考虑两种情况，第一个，抛硬币正面朝上的概率和背面朝上的概率分别为80%和20%。第二个情况里概率正好相反：正面朝上和背面朝上的概率分别为20%和80%。

两种抛硬币试验都有相同的熵，即H(0.8, 0.2) = H(0.2, 0.8)。

更通用的形式，对于个结果的试验，我们有：

实际上这对于有任何数量结果的试验都适用。我们可以以任意的方式调整参数的顺序，而所有的结果都是一样的。

总结

回顾一下，香农熵是一种不确定性的度量。

它被广泛的适用，因为它满足了我们想要的一些标准(同时也是因为我们生活中充满了不确定性)。唯一性定理告诉我们，只有一个函数族具有我们想要的四种基本性质。香农熵是这个函数族的一个很自然的选择。

熵的性质有(1)对于均匀分布有最大的熵；(2)对于独立事件熵是可加的；(3)具有非零概率的结果数量增加，熵也会增加；(4)连续性；(5)非负性；(6)确定事件的熵为0；(7)参数排列不变性。

via TowardsDatascience，雷锋网 AI 科技评论编译