1 感知机是什么

本文为感知机学习笔记，主要参考李航《统计学习方法》

定义

感知机（preceptron) 是一个经典的二分类模型，旨在特征空间中找到一个超平面，使得正负样本点尽可能分布在超平面两侧。

感知机的发展

1. 1957年Rosenbllatt提出感知机，这在当时是一个非常令人兴奋的发现。
2. 1960年，维德罗首次使用Delta学习规则用于感知器的训练步骤, 这两者的结合创造了一个良好的线性分类器。
3. 1962年，Rosenbllatt，Novikoff等人进行了一系列理论研究 ，如感知机收敛定理等
4. 1969年Marvin Minsky将感知器话题推到最高顶峰。他提出了著名的XOR问题和感知器数据线性不可分的情形，之后机器学习的研究处于休眠状态。
5. 1981年，多层感知器(MLP)由伟博斯神经网络反向传播算法中具体提出。
6. 1995年 , 机器学习领域中一个最重要的突破，支持向量(support vector machines, SVM )被提出，其来源于感知机

2感知机为什么可以分类——感知机原理

2.1模型

感知机是一个二类分类的线性模型，其输入为实例的特征向量， 输出为实例的类别，取+1和-1。
线性方程 $w\ast x+b=0$ 对应特征空间的一个超平面。如下图：

2.2策略

感知机选择超平面的策略是误分类点到超平面的总距离最小。
首先，任意一点x到超平面的距离为： $\frac{|wx+b|}{||w||}$
将超平面上方的点记为正类点，标签为1 。超平面下方的点标签则为-1 。注意到，$wx+b>0$,说明x在超平面上方。 所以，$y(wx+b)>0$则说明分类正确，$-y(wx+b)>0$则分类错误。
对于一个分类模型，误分类的点越少越好，当一个样本点已经在错误的一侧后，希望它距离超平面越近越好。也就是误分类的点到超平面总距离越小越好。
将所有误分类的点记为集合M(mistake), 则损失函数为：$Loss(W,b)=-{\sum }_{x_i\subset M}\frac{y_i(w{x}_i+b)}{||w||}$
||w||的大小对解没有影响, 则最终感知机的学习策略，$minLoss(W,b)=-{\sum }_{x_i\subset M}{y}_i(w{x}_i+b)$

2.3算法

确定损失函数之后，要做的就是找到使得损失函数最小的$(w,b)$（感知机的求解算法为梯度下降法。求导知，损失函数对w,b的梯度分别为

• ${▽}_w=-{\sum }_{x_i\subset M}{y}_i{x}_i$
• ${▽}_b=-{\sum }_{x_i\subset M}{y}_i$

算法：
1 初始化超平面$(w_0,b_0)$ ，阈值e.
2 计算误分类集合M
3 更新(w,b) $w=w+\eta y_i{x}_i;b=b+\eta y_i$, 计算损失值。
4 重复2，3 直到损失值小于阈值e。

上图为感知机迭代过程

2.4对偶算法

感知机对偶形式的基本想法是， 在上述算法中可假设初始值$w_0,b_0$均为0，$\eta =1$, 从梯度下降学习过程中可以看出，最后学习的w,b分别为($x_i,y_i$线性组合的形式）:

• $w={\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i$
• $b={\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i$

那么模型则为$f(x)=sign({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x+b)$
${\alpha }_i$表示第i个样本点参与更新的次数。 实例点更新的次数多，意味这它常被误分，也就离超平面较近，也就越难正确分类。这样的实例点对学习结果的影响最大。类似于SVM中的支持向量。
若$\eta \ne 1$，${\alpha }_i$也可以近似理解为更新次数。则对偶型式的算法为

1 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_N{)}^T,\alpha =0,b=0$
2 若 $y_i({\sum }_{j=1}^N{\alpha }_j{y}_j{x}_j\cdot x+b)⩽0$， 则更新 :

• ${\alpha }_i={\alpha }_i+\eta$
• $b=b+\eta y_i$
  直到损失值小于阈值。
  对偶形式中训练实例只以内积的形式出现，为了计算快捷，可以将训练集中的内积计算出来以矩阵形式存储，这个矩阵就是Gram矩阵$G=[x_i\cdot x_j]$。

2.5理论性质——收敛性

这是《统计学习方法》p31的结论，主要证明了 对于线性可分数据集感知机是可以找到超平面将其完全划分的，而且梯度下降算法在训练中的误分类次数是有界的。详细证明参考书。

显然对于线性可分数据集，感知机的解不是唯一的，只要所有的点都被正确分类，就会停止迭代，所以初始点、步长不同，得到的解不同

3 感知机实现

3.1 Numpy实现perceptron

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x_train=np.array([3,3,4,3,1,1]).reshape(-1,2,order='C')
y_train=np.array([1,1,-1]).reshape(-1,1)
#写一个整的函数，输入x_train ,y_train,eta ,输出 W=(w1.w2.b)
def perceptron(x_train,y_train,eta=1):
    N,p=x_train.shape
    #design matrix # x_Rd design x_Rd+1
    X=np.concatenate((x_train,np.ones(N).reshape(N,1)),axis=1)
    W=np.ones(p+1).reshape(p+1,1)
    #梯度下降，直到不在变化
    error=1
    while error>1e-05:
        loc = np.where(np.dot(X,W)*y_train<=0)[0]# 误分类点
        if len(loc)>0: 
            #error = sum((-1)*np.dot(X[loc,:],W)*y_train[loc,:])
            loc = loc[0]
        else : return W
        X_mis = X[loc]; Y_mis=y_train[loc]
        X_mis = X_mis.reshape(-1,p+1);Y_mis=Y_mis.reshape(-1,1)
        W_temp = W + eta*np.dot(Y_mis.T,X_mis).reshape(-1,1)
        error = np.dot((W-W_temp).T,W-W_temp)
        W=W_temp
        print(W)
    return W   
W=perceptron(x_train,y_train,eta=0.1)  
#预测函数
def predict_percep (x_test,W):
    pre=np.dot(x_test, W[:-1,:])+W[-1,:]
    pre[pre>=0]=1;pre[pre<0]=-1;
    return pre
y_predict = predict_percep(x_train,W)

3.4 调用sklearn实现perceptron

import numpy as np
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import Perceptron 
#生成二分类的样本
x,y = make_classification(n_samples=1000,n_features=2,n_redundant=0,n_informative=1,n_clusters_per_class=1)
# make_classification模拟生成分类样本
y = np.array([(lambda x:1  if x==1 else -1)(i) for i in y])
#分成训练集和测试集
x_train = x[:800,]
y_train = y[:800,]
x_test = x[800:,]
y_test= y[800:,]
clf = Perceptron(fit_intercept=False, shuffle=False)#实例化一个感知机模型
clf.fit(x_train,y_train)#使用训练数据进行训练
#得到训练结果，权重矩阵
print(clf.coef_)
#预测
acc = clf.score(x_test,y_test)
print(acc)#正确率
>0.972  

3.5 可视化

#正例和反例
positive_location = np.where(y_train==1)
negetive_location = np.where(y_train==-1)
#画出正例，负例，超平面
from matplotlib import pyplot as plt
plt.scatter(x_train[positive_location,][:,:,0],x_train[positive_location,][:,:,1],marker='*')
plt.scatter(x_train[negetive_location,][:,:,0],x_train[negetive_location,][:,:,1],color="red",marker='+')
line_x = np.arange(-4,4)
line_y = line_x * (-clf.coef_[0][0] / clf.coef_[0][1]) - clf.intercept_
plt.plot(line_x,line_y)
plt.show()

总结

感知机是基础的ML模型，是svm的前生。
感知机的策略为最小误分类点到超平面距离 ，算法为梯度下降法。
感知机是线性分类器，对于非线性问题和高维问题效果交叉，而SVM通过核技巧解决了这个问题。
感知机及其对偶形式算法效率上的区别是什么，话句话说，什么时候使用对偶形式，这个问题没搞懂，清楚的希望能留言告诉我。