技术标签: 算法 笔记 图论 Acwing基础算法课笔记
bellman-ford算法适用于负权边的图,求 1 到 n 的最多经过k条边的最短距离。
如图所示:
1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|
dist | 0 | ∞ \infty ∞ | ∞ \infty ∞ |
⇓ \Downarrow ⇓
1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|
dist | 0 | 1 | ∞ \infty ∞ |
⇓ \Downarrow ⇓
1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|
dist | 0 | 1 | 2 |
此过程中出现了串联的结果,所以是错误的,此时需要进行备份操作。
备份操作如下:
for(int i = 0; i < k; i++){
memcpy(backup, dist, sizeof(dist);//backup存的是上一次迭代的结果
for(int j = 0; j < m; j++){
..................
}
}
为了防止出现串联,保证符合题目条件,需要备份。
注意: b e l l m a n − f o r d 算法中是不存在负权回路的 注意:\textcolor{red}{bellman-ford算法中是不存在负权回路的} 注意:bellman−ford算法中是不存在负权回路的
bellman-ford算法的常规操作
for 循环遍历 n 次
for 遍历所有边 a,b,w
dist[b] = min(dist[b], dist[a] + w);
//此过程称为松弛操作
如图:
如果1 → \to →a → \to →b的距离比1 → \to →b的短则更新dist[b]。
循环完之后,所有边的距离一定满足dist[b] ≤ \le ≤dist[a]+w,此不等式也称三角不等式。
时间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm), n n n表示点数, m m m表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改,加上备份数组,详情见模板题。
int n, m; // n表示点数,m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边,a表示出点,b表示入点,w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离,如果无法从1走到n,则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式,就说明存在一条长度是n+1的最短路径,由抽屉原理,路径中至少存在两个相同的点,说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
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