CGAL中2D Arrangements学习笔记

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2D Arrangement类型简介：

给定一组平面曲线，2D Arrangement能够将这组曲线所组成的图形细分成顶点、边和面这些最基本的几何单位。其中给定的曲线能够相互相交，甚至能自相交。其组成的图形在2D Arrangemen中描述成双边连接数据结构(doubly-connected edge list data-structure (D CEL for short))即把一条边变成两条半边来描述，其中，这个数据结构包含了对顶点、边、面的描述。

如上图，通过线段构造的2D Arrangements表现成了顶点（vn）、边(un)、面(fn)的形式。 其中f0是一个没有被包装的面（un_bound），其余都是被包装的面，其中f2为普通的面，f1中包含两个洞f3和f4。至于顶点和边，在这里就不多说了，很简单。需要说明的是对于f0面来说，所有里面的（即f1+f2）组成的为其一个洞。

一个面的边界由一系列的边和点组成，我们称其为a connected component of the boundary（or CCB for short）。这个CCB我们是可以迭代的访问其组成的边和顶点的。

2D Arrangement类型基本使用方法：

1、构造组成
经过研究，2D Arrangement主要由内核、DCEL描述和数据类型组成，其中CGAL提供N种内核来构造一个ARRANGMENT，而我们要用到的基本上就是二维空间中ARRANGMENT的应用，即ARRANGMENT_2，所以下面所说明和讨论的都是基于ARRANGMENT_2的；

在所有的内核之中，据文档介绍Arr_segment_traits_2是一种效率高的内核，所以我也主要以其为研究对象。DCEL一般的就是用默认的DCEL足够了，数据类型则用CGAL::MP_Float。

2、迭代访问
我们可以通过给定的迭代器来访问2D Arrangement。如下代码
template<class Arrangement>
void print_arrangement (const Arrangement& arr)
{
CGAL_precondition (arr.is_valid());
// Print the arrangement vertices.
typename Arrangement::Vertex_const_iterator vit;
std::cout << arr.number_of_vertices() << " vertices:" << std::endl;
for (vit = arr.vertices_begin(); vit != arr.vertices_end(); ++vit)
{
std::cout << "(" << vit->point() << ")";
if (vit->is_isolated())
std::cout << " - Isolated." << std::endl;
else
std::cout << " - degree " << vit->degree() << std::endl;
}

// Print the arrangement edges.
typename Arrangement::Edge_const_iterator    eit;
std::cout << arr.number_of_edges() << " edges:" << std::endl;
for (eit = arr.edges_begin(); eit != arr.edges_end(); ++eit)
std::cout << "[" << eit->curve() << "]" << std::endl;

// Print the arrangement faces.
typename Arrangement::Face_const_iterator    fit;
std::cout << arr.number_of_faces() << " faces:" << std::endl;
for (fit = arr.faces_begin(); fit != arr.faces_end(); ++fit)
print_face<Arrangement> (fit);
return;
}

注：arrangement操作方法比较简单，总有来说就是把一组线段插入到一个arrangement对象中，arrangement会自然的构造DCEL结构来描述线段所能组成的图形（不同的图形复杂度，构造需要的时间也不同），然后就可以迭代的访问其中的几何对象了。

经过研究，arrangement对于相交线段与非相交线段的处理方法，可以是不同的（不同的插入处理），见其例子。

经过以上分析，就需要针对我们软件中的例子，进行抽象建模。我们的需求是，给定一组线，找出最小区域和最大外包。仔细一分析，CGAL中的arrangement类完全可以满足我们的需求。对于arrangement也是通过一组线段，就能求出其对应的面(这里可以对应我们的最小区域和最大外包)，但在arrangement中只有面的概念，那么怎么样区分最小区域和最大外包呢，上文中提到过，所谓最大外包就是对应的最外面一个面，这个面是un_bound的，其余的面，也是就最小区域是被bound的，所以，针对我们的问题，这个标记应该就能够解决的。

现在的问题就是，我们采用哪一种方法来处理一组线段，是我们在外面自己离散？还是输入最基本的数据，让arrangement自己去离散？这就在于，是自己的离散算法效率高，还是arrangement的效率高。不管怎么样，我们首先还是用一组数据和结果来说明（以下数据采自己CGAL的两个例子。

其中，图A是没有离散的数据，图B是离散了的数据。运行结果如下：

A

B

其中构造图A的arrangement花了11秒多，而构造图B的arrangement只花了半秒多。当然，这两份数据不是描述一个图，所以也只仅做参考和学习之用，但这说明了，arrangement对线段离散的时间和线段的复杂性是成正比的。

下面，我将自己构造的数据来说明两者的差据。（数据为横、竖各一百条线组成的简单轴网）:

首先是离散了的数据的运行结果：

然后是没有离散的数据运行结果

从这份数据来看，对于简单的线段复杂度，离散与非离散数据表现出来的差异并不是很大。

但我相信，也不能完全根据这份数据盲目的判断，我将加入一些曲线，来判断运行的时间，关于结果，下次再贴。