参考自:链接: link
1) 堆的基本概念
堆 是一种特殊的树,满足以下条件即为堆:
因为堆的要求不像二叉搜索树那么严格。他只要求某个节点的子节点大于或小于该节点,因此同一组数据,可以构建多种不同形态的堆:
2)堆的表示
堆是完全二叉树,大部分时候都是使用数组来存储堆
规律(根节点是0号)
i 结点的父结点 par = floor((i-1)/2) 「向下取整」
i 结点的左子结点 2 * i +1
i 结点的右子结点 2 * i + 2
因为堆是完全二叉树,所以说,数组中的元素的父节点、孩子节点都是可以用公式算出来的!(层序遍历下)
堆的操作主要有两种:插入、删除。。(priority_queue也正是只提供了这两种方法)
不管是插入还是删除后都有可能不再满足堆的定义即:
堆是一颗完全二叉树
堆中每个节点都必须大于等于(或小于等于)其左右子节点
在插入或删除操作后需要进行调整,让其重新满足堆的特性,这个调整的过程叫做堆化(heapify)
1) 两种堆化方式
从下往上(上浮):当前元素不断向上和父节点比较大小:
从上往下(下沉):当前元素不断向下和两个孩子节点比较大小
当根节点是0号的时候,下沉和上浮代码是:
//模拟priority_queue
class Heap
{
private:
vector<int> vec;
int capacity;
int count;
void swapNode(int i,int j)
{
swap(vec[i],vec[j]);
}
//小根堆的上浮操作---在堆中将index节点上浮
void siftup_minheap(int index)
{
int parentNode=(index-1)/2;
while(parentNode>=0)
{
if(vec[parentNode]<vec[index])
break;//父节点比这个节点小,则停止上滤
swapNode(index,parentNode);
index=parentNode;
parentNode=(index-1)/2;
}
}
//小根堆的下沉操作--下沉的范围是[index,n),一般是vec.size()
void siftdown_minheap(int index,int n)
{
int i=index;
int j=2*i+1;//index节点的左儿子
while(j<n)
{
if(j+1<n && vec[j+1]<vec[j]) j++;//j是左儿子和右儿子。较小的那个的下标
if(vec[i]<vec[j]) break;//如果 当前节点比两个孩子都要小,那么停止下沉
swapNode(i,j);
i=j;
j=2*i+1;
}
}
};
2) 插入
插入的过程是从下往上的堆化:在堆的尾部插入,以满足完全二叉树条件,再进行堆化。
过程:
java代码如下:
void del()
{
int n=vec.size();
swapNode(0,n-1);
vec.pop_back();
siftdown_minheap(0,vec.size());
}
3) 删除堆顶元素
堆的删除操作,往往是删除堆顶的元素
删除非堆顶元素的效率不高,意义通常也不大。
删除堆顶元素,过程是从上往下的堆化。
堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。删除了堆顶元素后,可以把最后一个元素移到根节点的位置,满足完全二叉树的条件,再进行堆化
最后一个节点放到堆顶,在子节点中找出较大(大顶堆)的那个对比。小于子节点时,互换两个节点,并且重复进行这个过程。这就是从上往下的堆化方法。
java代码如下:
//删除顶部元素
removeMax() {
if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
a[1] = a[count];//最后一个元素移到根节点的位置
--count;
sink(a, count, 1);
}
// 自上往下堆化
sink(a, n, i) {
while (true) {
const maxPos = i;
if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1; // 需要在两个子节点中找大的出来
if (maxPos == i) break;
swap(a, i, maxPos);
i = maxPos;
}
}
3) 堆化时间复杂度
堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的,所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比,也就是 O(logn)。
4)插入和删除时间复杂度
插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化,所以时间复杂度都是 O(logn)。
堆排序步骤
“大顶堆”用于升序排列
“小顶堆”用于降序排列
实现堆排序可分解为两个步骤,建堆和排序
1)建堆
数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是,不借助另一个数组,就在原数组上操作
方式一(从前往后处理数组)
从前往后依次处理数组元素,数据插入堆中时,都用从下往上堆化。直到最后一个元素处理完成。
假设,起初堆中只包含一个数据,就是index=1 的元素6
除了第一个节点,都需要堆化。即对n-1个节点进行了堆化。时间复杂度是NlogN。(需要复杂的公式推导,记住就行了)
这个过程,虽然是原地操作,往往,我们会有下面这种情况:
给定一个数组,遍历这个数组,往一个priority_queue中插入元素。
这个过程,本质上就是方式一的方法,也就是在原地在数组中从前往后调整,所以时间复杂度也是NlogN。(往prirotity——queue中插数据,本质上就是差插到pri_queue底部的那个数组的末尾,然后上浮。)
方式二(从后往前处理数组)
从后往前处理数组,使用从上往下堆化,直到第一个元素处理完成。
对于完全二叉树来说,叶子节点:
- 根节点是1开始编号的时候,下标从 n/2+1 到 n 的都是叶子节点。所以第一个非叶子节点为n/2
- 根节点是0开始编号的时候,第一个非叶子节点是最后一个节点的父节点,也就是(n-1-1)/2=(n-2)/2
叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较,所以从最后一个非叶子节点index=4开始堆化
下标从 n/2 开始到 1 的节点进行堆化。
结论:
时间复杂度:因为叶子节点不需要堆化,所以需要堆化的节点从倒数第二层开始,每个节点堆化的过程中,需要比较和交换的节点个数是与它的高度k成正比的。
建堆的时间复杂度是 O(n)
2)排序
排序是建立在已经构建一个堆的基础上的。数组中的第一个元素就是堆顶,也就是最大或最小的元素。我们可以利用删除堆顶元素的思路来进行堆排序。
Step1:将堆顶元素9与第n个元素(index=5)交换,此时最大值位于5(数组最后位),下标为5的元素位于堆顶
堆化:5小于子节点中较大的6,与6交换位置
Step2: 再取此时的堆顶元素6 与n-1个元素(index=4)交换
堆化:1小于子节点中较大的5,与5交换位置
Step3: 再取堆顶元素5 与n-2个元素(index=3)交换
堆化:3大于子节点1,不交换
Step4: 再取堆顶元素3 与n-3个元素(index=2)交换
Step5: 再取堆顶元素1,发现没有可比较的子节点了,堆排序结束
排序过程中需要对n个元素进行堆化,堆化的时间复杂度是O(logn),所以排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)
排序结果:
堆排序复杂度
时间复杂度:堆排序包括建堆和排序两个操作,建堆过程的时间复杂度是 O(n),排序过程的时间复杂度是 O(nlogn),所以,堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)
空间复杂度:排序不需要占用额外的空间,只需要交换元素的需要一个临时变量,所以堆排序的空间复杂度为O(1)。
1)优先级队列就是使用的堆封装的
2)其他应用见参考:https://juejin.cn/post/7007610680891146271
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
//模拟priority_queue
class Heap
{
public:
vector<int> vec;
int capacity;
int count;
void swapNode(int i,int j)
{
swap(vec[i],vec[j]);
}
//小根堆的上浮操作---在堆中将index节点上浮
void siftup_minheap(int index)
{
if(index==0) return;
cout<<"..."<<endl;
int parentNode=(index-1)/2;
while(parentNode>=0)
{
if(vec[parentNode]<vec[index])
break;//父节点比这个节点小,则停止上滤
swapNode(index,parentNode);
index=parentNode;
if(index==0) break;
parentNode=(index-1)/2;
}
}
//小根堆的下沉操作--下沉的范围是[index,n),一般是vec.size()
void siftdown_minheap(int index,int n)
{
int i=index;
int j=2*i+1;//index节点的左儿子
while(j<n)
{
if(j+1<n && vec[j+1]<vec[j]) j++;//j是左儿子和右儿子。较小的那个的下标
if(vec[i]<vec[j]) break;//如果 当前节点比两个孩子都要小,那么停止下沉
swapNode(i,j);
i=j;
j=2*i+1;
}
}
//小根堆的插入操作
void insert(int num)
{
vec.push_back(num);
int index=vec.size();
siftup_minheap(index-1);
}
//小根堆的删除堆顶元素操作--先将根节点和末尾元素互换,然后popback,然后从根节点开始下沉
void del()
{
int n=vec.size();
swapNode(0,n-1);
vec.pop_back();
siftdown_minheap(0,vec.size());
}
//原地建堆的操作--复杂度是NlogN
void buildHeap_1()
{
for(int i=0;i<vec.size();i++)
{
siftup_minheap(i);
}
}
//时间复杂度是N的,建堆方法--从第一个非叶子节点,往前遍历,并进行下沉操作
void buildHeap()
{
int n=vec.size();
for(int i=(n-2)/2;i>=0;i--)
{
siftdown_minheap(i,vec.size());
}
}
int top()
{
int temp=vec[0];
return temp;
}
public:
Heap(vector<int>& vec_)
{
vec=vec_;
}
};
int main()
{
vector<int> vec{
9,4,7,1,5,3};
Heap heap_(vec);
heap_.buildHeap();
while(heap_.vec.size()>0)
{
cout<<heap_.top()<<endl;
heap_.del();
}
return 0;
}
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